Prima di Pitagora

L’idea che gli intervalli si costruiscano concatenando quinte e quarte è più antica della Grecia. Alcune tavolette cuneiformi paleobabilonesi (inizi del II millennio a.C.) descrivono una procedura per accordare le nove corde di una lira: si procede per coppie di corde a distanza di quinta e di quarta, correggendo di volta in volta le corde che «non suonano chiare». Non ci sono numeri e non c’è una teoria delle proporzioni, ma il principio è già quello che la tradizione greca attribuirà a Pitagora.

In Cina il metodo sanfen sunyi («togliere e aggiungere un terzo»), descritto nel Guanzi (IV–III sec. a.C.), genera le altezze moltiplicando alternatamente una canna o una corda per 2/3 e per 4/3: esattamente la catena di quinte ascendenti e quarte discendenti pitagorica. Le 65 campane del Marchese Yi di Zeng (sepolte intorno al 433 a.C.) mostrano una conoscenza pratica sofisticata degli intervalli nello stesso periodo in cui in Magna Grecia operavano i primi pitagorici.

Pitagora e la leggenda dei martelli

Di Pitagora (c. 570–495 a.C.) non ci è giunto nessuno scritto. Il racconto più celebre è tardo: lo riporta Nicomaco di Gerasa nel Manuale di armonica (II sec. d.C.) e lo ripetono Giamblico, Macrobio e Boezio. Pitagora, passando davanti a una bottega di fabbri, avrebbe sentito i martelli risuonare in consonanza. Pesandoli, avrebbe trovato masse di 12, 9, 8 e 6 unità: 12:6 dà l’ottava, 12:8 e 9:6 la quinta, 12:9 e 8:6 la quarta, 9:8 il tono. Tornato a casa, avrebbe verificato i rapporti tendendo corde con pesi e poi su uno strumento a una sola corda con un ponticello mobile: il kanṓn, il «regolo».

Il racconto è fisicamente falso: l’altezza di un martello non è proporzionale al suo peso, e per ottenere un’ottava tendendo una corda con un peso serve un peso quadruplo, non doppio. Lo dimostrerà sperimentalmente Vincenzo Galilei a Firenze nel 1589. Ma la leggenda conserva il nucleo di una scoperta reale: le consonanze che l’orecchio riconosce corrispondono ai rapporti tra i numeri più semplici, 1, 2, 3 e 4. La loro somma, 10, è la tetraktýs, il triangolo sacro su cui i pitagorici giuravano.

Diogene Laerzio (III sec. d.C.) attribuisce esplicitamente a Pitagora l’invenzione del «canone a una corda». Il termine greco più antico per lo strumento è appunto kanṓn; la parola monóchordon si afferma più tardi, in età ellenistica e romana.

Filolao, Ippaso, Archita

Il primo testo che espone i rapporti è un frammento di Filolao di Crotone (V sec. a.C.). L’harmonía, cioè l’ottava, è formata da una syllabá (la quarta, 4:3) e da una di’oxeiân (la quinta, 3:2); la quinta supera la quarta di un epógdoos, il tono 9:8. La quarta contiene due toni e un residuo che Filolao chiama díesis e che più tardi prenderà il nome di leîmma, «resto»: 256:243.

Una testimonianza risalente ad Aristosseno racconta che Ippaso di Metaponto costruì quattro dischi di bronzo di uguale diametro e spessori in rapporto 4:3, 3:2 e 2:1, e che percossi davano le consonanze. È forse il più antico esperimento acustico documentato.

Archita di Taranto (c. 428–347 a.C.), matematico, statista e amico di Platone, calcola i tetracordi nei tre generi della musica greca. Nel suo enarmonico compaiono 5:4, 36:35 e 28:27; nel diatonico 9:8, 8:7 e 28:27. Archita introduce dunque la terza maggiore pura 5:4, che diventerà centrale solo duemila anni dopo. A lui si deve anche la dimostrazione che un rapporto superparticolare, del tipo (n+1):n, non può essere diviso in due parti uguali espresse da numeri interi. Il tono 9:8 non ha quindi una «metà» razionale: per i pitagorici il semitono esatto non esiste.

La Sectio canonis

La Katatomḕ kanónos, la «divisione del canone» attribuita a Euclide (l’attribuzione è discussa), è il primo trattato matematico di armonia pervenuto intero. In venti proposizioni dimostra, tra l’altro, che l’ottava e la quinta sono rapporti multipli o superparticolari, che sei toni superano un’ottava e che quindi l’ottava non si divide in sei toni uguali. L’eccedenza è proprio il comma pitagorico. Le ultime due proposizioni insegnano a dividere la corda del monocordo per ottenere tutte le note del Sistema perfetto immutabile, la scala di due ottave della teoria greca.

Sei intervalli sesquiottavi sono maggiori di un intervallo doppio.Sectio canonis, proposizione 9

Il monocordo diventa così uno strumento di dimostrazione: una grandezza misurabile, la lunghezza, rende visibile un rapporto che l’orecchio può soltanto percepire.

Aristosseno e la scuola dell’orecchio

Allievo di Aristotele, Aristosseno di Taranto scrive gli Elementa harmonica contro i «canonici» pitagorici. Per lui gli intervalli non sono rapporti numerici ma grandezze che si sommano, e il giudice ultimo è l’orecchio. Il tono si divide in due semitoni uguali, in tre diesis cromatiche o in quattro diesis enarmoniche, e la quarta vale esattamente due toni e mezzo. È un modo di pensare lo spazio sonoro sorprendentemente vicino al temperamento equabile moderno. Il contrasto tra «armonici» aristossenici e «canonici» pitagorici attraversa tutta la teoria antica.

Eratostene, Didimo e Tolomeo

Eratostene e Didimo propongono nuove divisioni del tetracordo. Didimo (I sec. a.C.) usa nel diatonico gli intervalli 16:15, 10:9 e 9:8: accanto al tono «grande» 9:8 compare un tono «piccolo» 10:9. La differenza tra i due, 81:80, si chiama ancora oggi comma di Didimo o comma sintonico.

Negli Harmoniká di Claudio Tolomeo (II sec. d.C.) la ragione e i sensi devono accordarsi: i rapporti si calcolano, ma si verificano all’ascolto. Tolomeo usa il monocordo in modo sistematico e ne discute i limiti pratici: la corda non è perfettamente uniforme e il ponticello, spostandosi, modifica tensione e lunghezza. Per questo propone strumenti a più corde, come il canone a otto corde e l’helikṓn, un dispositivo geometrico per mostrare le consonanze. Il suo diatonico sintonico (9:8, 10:9, 16:15) contiene la terza maggiore 5:4 e la terza minore 6:5: sarà la base dell’intonazione naturale di Zarlino.

Boezio: la porta verso l’Occidente latino

Severino Boezio (c. 477–524) traduce e rielabora Nicomaco e Tolomeo nel De institutione musica. Racconta la leggenda dei martelli, distingue la musica mundana (l’armonia delle sfere), la musica humana (l’armonia tra anima e corpo) e la musica instrumentalis, e nel quarto libro spiega la divisione del monocordo. Per più di mille anni il trattato sarà il testo di musica del quadrivium nelle scuole e nelle università europee, e con esso il sistema pitagorico diventa la teoria ufficiale dell’Occidente.

Il monocordo nei monasteri

Nel Medioevo il monocordo diventa anche uno strumento didattico. Il Dialogus de musica (c. 1000, a lungo attribuito a Oddone di Cluny) insegna a dividere la corda in nove parti per ottenere i toni, e mostra come un allievo possa imparare un canto sconosciuto facendo scorrere il ponticello. Guido d’Arezzo descrive nel Micrologus (c. 1026) un metodo di divisione del monocordo e lo usa, insieme alla sua nuova notazione su righi, per insegnare ai cantori della cattedrale di Arezzo a leggere melodie mai ascoltate.

Il sistema resta rigorosamente pitagorico. La terza maggiore 81:64 è più ampia di quella pura di circa 22 cents e batte in modo evidente: per la teoria medievale è una consonanza imperfetta o addirittura una dissonanza. Le cadenze della polifonia di Notre-Dame e dell’Ars nova risolvono infatti su quinte e ottave vuote. Verso il 1300 il monaco inglese Walter Odington osserva che i cantori intonano le terze più dolci di quanto prescriva la teoria, vicino a 5:4.

Aggiungendo più corde e una tastiera al monocordo nasce il clavicordo: in Italia lo si chiamerà a lungo monacordo. Un altro discendente è la tromba marina, un lungo monocordo suonato con l’arco che produce solo armonici.

Il Rinascimento e le terze pure

La polifonia rinascimentale, fondata sulle triadi, rende insostenibili le terze pitagoriche. Nel 1482 lo spagnolo Bartolomé Ramos de Pareja pubblica a Bologna la Musica practica, con una divisione del monocordo che produce terze 5:4 e 6:5. La reazione dei pitagorici, tra cui Niccolò Burzio e Franchino Gaffurio, è durissima. Il frontespizio della Theorica musicae di Gaffurio (1492) mostra Pitagora che percuote campane, bicchieri e corde tese da pesi 4, 6, 8, 9, 12 e 16.

Pietro Aron nel Toscanello in musica (1523) descrive un accordo per strumenti a tastiera con terze maggiori pure, antesignano del temperamento mesotonico a 1/4 di comma: ogni quinta viene ristretta di un quarto di comma sintonico (circa 5,4 cents) perché quattro quinte diano una terza 5:4 esatta. Lodovico Fogliano (1529) e soprattutto Gioseffo Zarlino, maestro di cappella a San Marco, nelle Istitutioni harmoniche (1558) riabilitano il diatonico sintonico di Tolomeo: le consonanze nascono dai numeri da 1 a 6, il senario. Nicola Vicentino costruisce l’archicembalo (1555), con 31 suoni per ottava, e Francisco de Salinas (1577) descrive i mesotonici a 1/3 e 1/4 di comma.

I Galilei e la nascita dell’acustica

Liutista e membro della Camerata de’ Bardi, Vincenzo Galilei attacca il suo antico maestro Zarlino nel Dialogo della musica antica et della moderna (1581) e nel Discorso del 1589. Sperimentando con corde tese da pesi, scopre che per l’ottava i pesi devono stare in rapporto 4:1 e per la quinta 9:4: la frequenza cresce con la radice quadrata della tensione. Le proporzioni della leggenda valgono solo per le lunghezze. Per il liuto Galilei propone di distanziare i tasti secondo 18:17, un’ottima approssimazione del semitono equabile.

Suo figlio Galileo spiega nei Discorsi (1638) la consonanza con la coincidenza periodica delle vibrazioni, mentre Marin Mersenne nell’Harmonie universelle (1636–37) formula le leggi della corda vibrante: la frequenza è inversamente proporzionale alla lunghezza e proporzionale alla radice della tensione divisa per la densità lineare. Il monocordo diventa uno strumento di laboratorio, il sonometro, che si trova ancora oggi nei laboratori di fisica.

Nello stesso periodo il monocordo diventa un’immagine del cosmo. Robert Fludd (1617) disegna il monochordum mundi, una corda che va dalla Terra all’Empireo accordata dalla mano di Dio, e Keplero negli Harmonices mundi (1619) cerca i rapporti consonanti nelle velocità angolari dei pianeti.

Il temperamento equabile e i temperamenti circolanti

Il temperamento equabile, in cui l’ottava è divisa in dodici semitoni identici di rapporto ¹²√2, viene calcolato con precisione quasi contemporaneamente in Cina dal principe Zhu Zaiyu (1584) e in Olanda da Simon Stevin (c. 1605). Nessun intervallo, tranne l’ottava, è più puro: la quinta perde un dodicesimo di comma pitagorico (≈ 1,96 cents) e la terza maggiore è più ampia della pura di quasi 14 cents. In cambio tutte le tonalità diventano uguali.

Tra Sei e Settecento prevalgono però i temperamenti circolanti, che permettono di suonare in tutte le tonalità mantenendo un diverso «colore» per ciascuna: Andreas Werckmeister (1691), Johann Philipp Kirnberger e il padovano Francescantonio Vallotti, che distribuisce il comma pitagorico su sei quinte (da Fa a Si) lasciandone pure le altre sei. Il Clavicembalo ben temperato di Bach (1722) nasce in questo contesto. Nel 1754 Giuseppe Tartini pubblica il Trattato di musica, dove descrive il «terzo suono», il suono di combinazione che si sente quando due note sono intonate in modo puro.

Dall’Ottocento a oggi

Nel 1800 Thomas Young osserva che pizzicando una corda in un punto che corrisponde a 1/n della lunghezza l’armonico n-esimo scompare (puoi provarlo nel laboratorio con il cursore «Punto di pizzico»). Hermann von Helmholtz ne La teoria delle sensazioni sonore (1863) spiega la consonanza con l’assenza di battimenti tra gli armonici, e Alexander Ellis, traducendolo, introduce nel 1885 i cents, l’unità usata in questa app.

Con la produzione industriale del pianoforte, nel corso dell’Ottocento il temperamento equabile si impone come standard. Il Novecento riscopre le altre strade: Harry Partch costruisce strumenti con una scala naturale a 43 suoni, La Monte Young e Ben Johnston lavorano con l’intonazione naturale, gli spettralisti francesi derivano l’armonia dallo spettro degli armonici, e l’esecuzione storicamente informata riporta nelle sale da concerto il mesotonico e i temperamenti di Werckmeister e Vallotti. Le stesse domande che Pitagora poneva alla sua corda sono ancora aperte.

Fonti e letture

• Euclide (attr.), Sectio canonis, c. 300 a.C.
• Aristosseno, Elementa harmonica, IV sec. a.C.
• Nicomaco di Gerasa, Manuale di armonica, II sec. d.C.
• Claudio Tolomeo, Harmonica, II sec. d.C.
• Severino Boezio, De institutione musica, c. 500
• Guido d’Arezzo, Micrologus, c. 1026
• Gioseffo Zarlino, Le istitutioni harmoniche, Venezia 1558
• Vincenzo Galilei, Dialogo della musica antica et della moderna, Firenze 1581
• Marin Mersenne, Harmonie universelle, Parigi 1636–37
• Hermann von Helmholtz, Die Lehre von den Tonempfindungen, 1863
• Andrew Barker, Greek Musical Writings, 2 voll., Cambridge University Press 1984–89
• J. Murray Barbour, Tuning and Temperament: A Historical Survey, 1951
• David Creese, The Monochord in Ancient Greek Harmonic Science, Cambridge University Press 2010